这是世界上最繁荣的城市之一,在车水马龙的市中心,有一座高耸入云的玻璃写字楼,那是我工作的地方。我的上司,李华,是这座大楼里一家知名企业的行政总裁。他,像一本难以翻阅的厚重书籍,每一天的心情都是不同的篇章。而我,作为他的秘书,肩负着一个特别的使命——每天为他策划一场午餐的盛宴。
为李华准备午餐可是我工作中最重要的任务,如果问他想吃什么,他只会不耐烦地说声“随便”,但如果点的午餐不合他的胃口,他可能就会情绪不稳定,从而对我们这些下属地工作要求更严格。为了让自己地日子好过一些,我开始察言观色。我发现,有时,他会因为一个成功的合同而喜形于色,一份清爽的沙拉会让他倍感舒爽;有时,他会因为紧张的会议而眉头紧锁,一份热量满满的汉堡可以为他补充能量;再有时,他会因为项目的压力而忧心忡忡,这时,一份温暖的中餐或许能给他带来一丝慰藉。
这不是简单的任务,而是一门需要深刻洞察力和细腻观察力的艺术。每当夜幕降临,我都会回顾当天的事件,尝试在李华的心情和他的饮食习惯之间,找到那些隐晦而又确凿的联系。
日复一日,我的记录日渐丰富,我好像逐渐找到了不同心情的他对于饮食的偏好。而我现在要做的,就是摸清他的心情规律。李华每天的工作大概从下午开始,所以前一天的心情直接影响了他第二天的状态。于是我又学会了预测,学会了在他的眉宇间读懂下一顿午餐的暗示。
我所运用的,正是马尔可夫过程的智慧:每一天的状态,仅与昨日的心情有关,而与更遥远的过去无缘。我不断调整我的预测模型,让自己的判断越来越精准。这样,无论李华的心情如何变化,我总能在午餐时刻,为他带来一份惊喜,一份安慰,一份力量。
最终,我不仅赢得了李华的信任和赞许,也让自己在这座城市的森林中,找到了一片属于自己的小确幸。
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程,得名于俄国数学家安德烈·马尔可夫。这种过程的核心特征是"无记忆性",即系统的下一个状态只与当前状态有关,而与之前的历史状态无关。
为了形式化地定义马尔可夫过程,我们首先设定一个由有限或可数无限多个状态构成的集合,称为状态空间,记作 ,其中包含了所有可能出现的状态。在离散时间的情形,假设在时间点 ( 是自然数集 中的任意元素),这个过程可能处于任意一个状态 。
对于一个马尔可夫过程 ,我们关心的是从一个状态跳转到另一个状态的概率。如果对于任意的 和任意的状态 ,都满足以下等式:
那么,我们称这个过程是马尔可夫过程。这个性质表明,未来状态 在给定当前状态 的条件下发生的概率,与过去的状态()无关。
在马尔可夫过程中,状态转移概率通常用一个矩阵来表示,这个矩阵被称为状态转移矩阵,其元素 定义为:
这里的 表示系统从状态 转移到状态 的概率。
当状态转移矩阵中的概率不随时间变化时,我们称这个马尔可夫过程为齐次马尔可夫链(或时间齐次马尔可夫链)。简而言之,齐次马尔可夫链的跳转概率是固定不变的。
以天气变化为例,假设一个地区只有晴天和雨天两种状态。如果明天的天气只与今天的天气有关,与前天及更早的天气无关,那么这个天气变化就可以被视为一个马尔可夫过程。假定晴天后继续晴天的概率是0.8,晴天转为雨天的概率是0.2;而雨天后继续雨天的概率是0.6,雨天转为晴天的概率是0.4,则状态转移矩阵可以表示为:
在这个矩阵中,第一行表示晴天的转移概率,第二行表示雨天的转移概率。上述概率矩阵便刻画了一个齐次马尔可夫链的状态转移规律。
1import numpy as np
2
3# 定义转移矩阵
4transition_matrix = np.array([[0.8, 0.2],
5 [0.3, 0.7]])
6# 定义初始状态(随机选择0或1)
7state = np.random.choice([0,1])
8
9state_history = [state]
10
11# 模拟100个时间步的马尔可夫过程
12for _ in range(100):
13 # 根据当前状态和转移矩阵选择新状态
14 state = np.random.choice([0,1], p = transition_matrix[state])
15 state_history.append(state)
16
17print(state_history)
1import numpy as np
2
3# 定义转移矩阵
4transition_matrix = np.array([[0.8, 0.2],
5 [0.3, 0.7]])
6# 定义初始状态(随机选择0或1)
7state = np.random.choice([0,1])
8
9state_history = [state]
10
11# 模拟100个时间步的马尔可夫过程
12for _ in range(100):
13 # 根据当前状态和转移矩阵选择新状态
14 state = np.random.choice([0,1], p = transition_matrix[state])
15 state_history.append(state)
16
17print(state_history)
这段代码使用一个二维转移矩阵定义了一个二态(状态0和状态1)的马尔可夫链。然后,它模拟了100个时间步的马尔可夫过程,并把每一步的状态存储在state_history列表中。
输出结果:
1[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,
21, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0,
30, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1,
41, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
50, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0,
61, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,
71, 1, 1, 0, 1]
1[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,
21, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0,
30, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1,
41, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
50, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0,
61, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,
71, 1, 1, 0, 1]
马尔可夫过程广泛应用于数学建模比赛中的各种应用领域和问题,包括但不限于以下几个方面:
优点:
缺点: