从模型的定义和性质来看,具有马尔可夫性质、并以随机过程为基础模型的随机过程/随机模型被统称为马尔可夫模型。
我们知道,生活中很多事情都不是一成不变的,比如天气、股票价格,或者公交车的到来时间。这些事情有一个共同点,那就是它们都是随着时间不断变化的,而且这种变化很难精确预测,因为它们受到很多不确定因素的影响。为了更好地理解和预测这些变化,科学家们就发明了随机过程模型。
随机过程模型,简单来说,就是一套数学工具。它帮助我们描述和分析这些随时间变化的事物,特别是那些变化带有随机性的。这个模型的核心思想就是:虽然未来的具体情况我们无法准确知道,但我们可以估算出它可能发生的规律和概率。
发明随机过程模型的动机是什么呢?主要有几点:
随机过程模型适用的场景非常多,其中包括:
总之,随机过程模型就像是我们用来解读和预测这个充满不确定性世界的一副眼镜,让我们尽管不能百分百准确预测未来,但至少能够有理有据地做出合理的猜测和决策。
随机过程是描述随机现象随着时间演化的数学模型。它可以理解为一种数学工具,用来描述随机变量或随机事件随时间变化的规律。一般来说,把一组随机变量定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律,从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。
在随机过程中,时间是一个基本的因素,它可以是离散的(如时刻1、时刻2、时刻3...)或连续的(如实数轴上的时间)。随机过程可以根据其状态的取值类型分为离散随机过程和连续随机过程。
随机过程的演化可以通过概率论中的概率分布来描述,这些概率分布可以是离散的(如概率质量函数)或连续的(如概率密度函数)。通过对随机过程的概率分布进行建模和分析,我们可以推断和预测随机过程在未来时间的行为。
马尔可夫性质,可以用一句简单的话来形容:「过河的石头踩一踩,踏过的就不再回头看。」简而言之,就是说,在某个过程中,接下来会发生什么,只和现在的情况有关,和你之前怎么走到这一步完全没关系。
我们可以想象一下电视剧里的情节,今天的剧情只取决于昨天发生的大事件,而不会去考虑很久以前的小插曲。这就是马尔可夫性质的核心思想:未来不由过去,只由现在。
再打个比方,就像我们每天的心情,可能只受到今天发生事情的影响,而和昨天的心情无关。今天开心了,不管昨天是不是郁闷,明天都可能继续保持愉快;今天不顺利,也不会去管昨天是不是特别顺心,明天一样可能是个新的开始。
这个性质在数学上可以帮我们简化很多复杂的问题,因为我们不必去追溯整个历史,只要知道当前的状态,就能有方法去预测下一步会发生什么。就像下棋,每次只需考虑下一步怎么走,而不用从头回忆整局棋的每一步。
总的来说,马尔可夫性质就是一种“活在当下”的哲学,把握现在,预测未来,不再纠结过去。这种性质在数学模型里面,让我们能够更聪明、更有效率地预测那些看似随机却又藏着规律的现象。
当一个随机过程满足马尔可夫性时,意味着在给定当前状态的情况下,过去的状态信息对未来状态的预测没有影响。这是因为当前状态已经包含了过去状态的所有信息,即给定当前状态,过去状态的信息是冗余的。
具体来说,假设我们有一个离散时间的随机过程,其中包含一系列的状态,记为 ,每个状态在每个时刻都具有一个概率分布。马尔可夫性的假设意味着在任意时刻 的状态 只与当前状态 有关,而与过去状态 无关。在数学上可表示为
这样的假设使得我们可以使用状态转移矩阵来描述马尔可夫过程。状态转移矩阵是一个方阵,其元素 表示在状态 时转移到状态 的概率。根据马尔可夫性的假设,每个状态的转移概率只取决于当前状态,与时间的推移无关。
由于状态转移矩阵中的概率是固定不变的,可以在已知当前状态的情况下,通过不断迭代状态转移矩阵,预测未来状态的概率分布。这样就使得马尔可夫过程模型能够对未来状态进行有效的建模和预测。
需要注意的是,马尔可夫过程的假设并不意味着状态之间的转移是完全随机无规律的,转移概率是可以根据实际情况进行建模和估计的。
举个例子,一个小孩的行为是可以用马尔可夫预测的。
如果他现在在玩(playing),那么接下来他有10%的概率继续玩,有50%的概率去吃东西(eating),也有40%的概率会哭(crying)。