咱们手里有一堆点,代表收集到的数据,比如记录了一段时间的体重或产品销量随时间的变化。现在,想找到一条直线,大致代表这些点的趋势,以便通过该直线预测未来情况,如体重变化或产品销售情况。
最小二乘法用来实现这一目标。基本思想是寻找一条直线,使得所有点到该直线的垂直距离之和尽可能小。这些垂直距离,类似于每个数据点与预测直线的误差,希望误差越小越好,以确保准确的预测。
首先,假设一条直线,具有斜率和截距,这是直线的特征。斜率表示直线的倾斜程度,截距表示直线的起点。然后,计算每个数据点到该直线的垂直距离,这些距离需要平方处理——为什么呢?平方的好处是,使距离正负都变为正数,并且使那些与直线距离较远的点对整体影响更大,这样我们就能更关注大误差的点。
接下来,调整假设的直线,即调整斜率和截距,使所有数据点到直线的距离平方和最小化。这类似于调节收音机,寻找最强信号的频道。
通过不断调整,最小二乘法最终能找到最合适的直线。这条直线是能最好地代表手头数据点趋势的趋势线,有了它,可以根据现有数据预测未来情况。这个简单而实用的方法在统计分析和工程问题解决等领域特别受欢迎。
你是一位小学某个班级的班主任,为了鼓励学生们多吃食物长个子,你让他们各自测量了自己的身高和体重,现在你手头上有一堆身高与体重的数据点。
为了让学生们充分明白不要挑食有助于长身高的道理,你想利用这些身高体重的数据带同学们一起探索二者之间的关系。
首先,在黑板上画一个坐标轴,横坐标是身高,纵坐标是体重。然后,将同学们提供的数据点标在坐标轴上,这样大家就能看到所有的数据点都分布在坐标轴的不同位置。
现在,目标是找到一条直线,能表示身高和体重之间的关系。也就是说,如果知道了一个人的身高,就可以通过这条直线大概估计出这个人的体重。
然后,随便画一条直线,告诉同学们,这是起始点。这条直线可能完全不符合数据的分布,但没关系,会慢慢调整它。用尺子和铅笔,先画一条斜率和截距都是随机选的直线。然后,用不同颜色的笔,从每个数据点画一条垂直于横轴的线,直到它们碰到假设的直线。
接下来,告诉学生们,要计算每个垂直线段的长度,并且把它们平方。然后把所有平方值加起来,得到一个总数。这个总数就是要尽量让它变小的东西。这一部分你不需要太细讲,因为可能他们很难理解。
现在,慢慢地调整直线的斜率和截距,每调整一次,就重新计算那个总数。目标是找到一个斜率和截距,使得这个总数最小。当这个总数不再变小的时候,就找到了最佳拟合直线。
最后,黑板上会有一条经过调整后的直线,这条直线就是最能代表你们班上同学身高与体重关系的直线。通过这条直线,可以预测,如果知道某个同学的身高,那他的体重大概会是多少。这下同学们明白了,体重越重,身高越高,牢记这个规律后,他们再也不敢挑食了。
最小二乘法是一种常用的数学方法,用于处理如何最好地通过一组散乱的数据点画一条线(或者说是拟合一个模型)。这种方法尤其适用于当我们认为数据之间存在着某种关系,但由于各种原因(比如测量误差),数据并不完全准确时。
假设我们手上有一些数据点,每个点都有一个横坐标 和一个对应的纵坐标 。我们目标是找到一个函数 ,它可以尽可能好地代表这些点的分布规律。这里的 是我们想要拟合的函数,而 就是这个函数里面的参数,可能包括斜率、截距等等,这取决于我们选择的函数形式。
最小二乘法的核心思想是:找到参数 的最佳值,使得所有数据点与我们函数预测值之间的差距(即残差)的平方和最小。残差的计算公式是:
我们的目标就是调整 ,使得所有的 的平方和最小,也就是最小化下面这个损失函数 :
这里 是我们数据点的总数。
要实现这个目标,我们可以使用如梯度下降法这样的优化算法。梯度下降法会计算损失函数 关于参数 的梯度,然后根据梯度的方向来调整 的值,不断迭代这个过程直到找到损失函数的最小值。
简而言之,最小二乘法就是通过最小化数据点和拟合函数之间差距的平方和来确定最合适的模型参数。这个方法不仅适用于线性模型,也适用于多项式或其他更复杂的模型,关键在于选择合适的函数形式来描述数据之间的关系。
首先,我们要解决的问题是如何找到一组参数 ,它们能使得预测值和实际值之间的误差平方和最小。这个误差平方和也叫做损失函数,我们的目标是使损失函数尽可能小。
在多元线性回归的情况下,我们假设输入变量和输出变量之间有线性关系,可以用以下等式表示:
这个方程可以用矩阵的形式简洁地表示为:
其中,矩阵 包含了所有样本的输入特征,并且每个样本都附加了一个值为1的特征来对应参数 。这样,矩阵 的维度就是 , 是样本的数量, 是除 外的特征数量。向量 包含了所有的参数。
接下来,我们定义损失函数 J,它是一个关于参数 的函数:
这里, 是一个包含了所有样本输出值的 向量。我们在损失函数前乘以 是为了在求导时简化计算,消除求导后的系数2。
为了最小化损失函数,我们需要找到损失函数的最小值。根据数学原理,函数的最小值出现在其导数等于0的地方。因此,我们对损失函数对 求导,并令导数等于0:
通过上述方程,我们可以解出参数 :
这个结果就是线性回归模型的最优参数,它通过矩阵运算得到,非常高效而且简洁。
需要注意的是,这个矩阵解法要求矩阵 是可逆的,也就是说这个矩阵不能是奇异的。在实际应用中,如果矩阵不可逆或者接近奇异,我们可能需要使用正则化或其他数学技巧来解决这个问题。