预测
预测方法
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一步预测
一步预测即预测下一个时间点的值。例如,对于一个AR(p)模型(自回归模型的 p 阶),是根据最新的 p 个观测值进行预测。公式表示如下:
X^t+1∣t=φ1Xt+φ2Xt−1+…+φpXt−p+1.
其中,X^t+1∣t 表示在给定到t 时刻的所有信息情况下,对t+1时刻的预测值。Xt−1(i=0,...,p−1) 是在 t−i时刻的观测值。i(i=1,...,p)是模型参数。
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多步预测
多步预测是预测未来多个时期的值。此时需要逐步向前预测,每一步预测都会依赖于前一步的预测值。这个过程中的不确定性会随着预测步数的增加而逐渐积累,因此长期预测的准确性通常会低于短期预测。例如针对AR(p)模型,公式可以表示为:
X^t+2∣t=φ1X^t+1∣t+φ2Xt+…+φpXt−p+2.
这里,X^t+2∣t 表示在给定到 t 时刻的所有信息情况下,对t+2 时刻的预测值。注意这个公式中,X^t+1∣t 是我们在上一步已经预测得到的 t+1时刻的值。
注意:无论进行一步预测还是多步预测,预测的准确性往往取决于模型选择(即参数p,d,q的选择)的好坏以及模型参数的估计精度。同时,由于时间序列数据本身可能具有很复杂的动态特性,因此预测结果可能在一些情况下并不完全准确。这就需要我们合理选择模型,以及经常性的对模型进行评估和更新。
修正预测
预测的步长越长,未知信息就越多,从而估计的精度就越差。然而,随着时间的发展,我们在原有的观测值的基础上,不断获得新的观测值。这些新的观测值带来更多的信息,从而预测未来时刻的未知信息逐渐减少。因此,利用这些新观测值的信息,我们可以更好地预测未来的序列值Xt+k,预测精度将提高。这就是所谓的修正预测。
修正预测有两种处理方式:
- 把新的观测值和原数据合并,重新拟合模型,然后再利用拟合后的模型预测Xt+k
- 利用原来的拟合模型,然后利用新观测值修正原来的拟合模型,从而得到新的拟合模型。
当新的观测序列很多时或易于操作时,可采用第一种方法。然而,当新的观测并不多时,第一种方法不是最佳选择。此时,第二种方法更加便捷。
一般地,假如获得新观测值 Xt+1,…,Xt+l(1≤l≤k) ,则 Xt+k 的修正预测值为
Xt+1(k−1)=gk−1εt+l+…+gk−1εt+1+gk−1εt+gk−1εt−1+…=gk−1εt+l+…+gk−1εt+1+Xt(k),
其中 εt+j=Xt+j−X(t+j−1)+1(1≤j≤l)为 Xt+j的一步预测误差。此时修正后的方差为
Var(et+l(k−l))=(1+g12+…+gk−l−12)σ2.
从上面的分析可知,当我们获得新的观测值时,修正后的预测方差将减少,从而提高了预测精度。而且这种修正方式简单,易于操作。